Задачи:
1. (уровень А) Два
игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости в точке с
координатами (3;2)
стоит фишка. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок
перемещает фишку из точки с координатами (x,y) в одну из трех точек: (x+3;y), (x,y+2) или (x,y+4). Выигрывает тот игрок, после хода которого расстояние по прямой от фишки до начала координат (0,0) больше 12 единиц. Кто выигрывает – игрок, делающий ход первым, или игрок, делающий ход вторым?
перемещает фишку из точки с координатами (x,y) в одну из трех точек: (x+3;y), (x,y+2) или (x,y+4). Выигрывает тот игрок, после хода которого расстояние по прямой от фишки до начала координат (0,0) больше 12 единиц. Кто выигрывает – игрок, делающий ход первым, или игрок, делающий ход вторым?
2. (уровень В) Два
игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из
которых 4 камня, а во второй – 5 камней. У каждого игрока неограниченно
много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или
увеличивает в 2 раза число камней в какой-то куче, или увеличивает на 2 число
камней в одной из куч. Игрок, после хода которого общее число камней в двух
кучах становится более 22, проигрывает. Кто выигрывает
при безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок,
делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
3. (уровень С) Два
игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней.
Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
добавить в кучу три камня или увеличить количество камней в куче в четыре раза.
Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 13 или 40
камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество
камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче
становится не менее 75. Победителем считается игрок, сделавший последний ход,
то есть первым получивший кучу, в которой будет 75 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 74.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.
Задание 1
а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающие ходы.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
Задание 2
Укажите четыре таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: − Петя не может выиграть за один ход; − Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 3
Укажите три значения S, при которых одновременно выполняются два условия: − у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; − у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рисунке на рёбрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах – количество камней в позиции.
Комментариев нет:
Отправить комментарий